Uji Kompetensi Bentuk Akar SMA Kurikulum 2013 - Soal dan Pembahasan (1.2)

Uji Kompetensi Bentuk Akar SMA Kurikulum 2013 - Soal dan Pembahasan (1.2). Soal dari buku kurikulum 2013 yang kita coba diskusikan adalah soal uji kompetensi 1.2, tepatnya dari topik pembahasan bentuk akar.

Pada uji kompetensi tersebut diberikan beberapa soal latihan dan yang kita diskusikan disini adalah dari soal tantangan. Soal-soal yang disajikan pada kurikulum ini banayk mengarah ke soal-soal olimpiade matematika. Seperti sebelumnya soal dan pembahasan uji kompetensi eksponen sudah kita diskusikan, sekarang mari kita mulai berdiskusi tentang bentuk akar;

1a. Tentukan nilai dari:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3 \cdots}}}}}}}}$

Alternatif Pembahasan: show

Soal diatas agar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya adalah $ \sqrt[3]{2\sqrt{3}}$ yang ditulis secara berulang menjadi $ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan pola yang berulang'.

Untuk menyelesaikan soal diatas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:

$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}}\ =\ a$

Dengan melihat pemisalan diatas, sehingga sekarang kita hanya mencari nilai $ a$, dengan mempangkatkan ruas kiri dan kanan dengan 3, sehingga kita peroleh:
$ 2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}\ =\ a^{3}$

Lalu ruas kiri dan kanan sama-sama kita bagi dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}}\ =\frac{1}{2} a^{3}$

Selanjutnya ruas kiri dan kanan sama-sama kita pangkatkan dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ 3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}\ =\frac{1}{4} a^{6}$

Berikutnya ruas kiri dan kanan sama-sama kita bagi dengan 3, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3\sqrt[3]{2\sqrt{3...}}}}}}\ =\frac{1}{12} a^{6}$

Dengan mensubstitusikan nilai $ a$ pada ruas kiri, sehingga bentuknya menjadi:
$ a\ =\frac{1}{12} a^{6}$

$ 1\ =\frac{1}{12} a^{5}$

$ 12\ =\ a^{5}$

$ a=\sqrt[5]{12}$

1b. Tentukan nilai dari:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\cdots}}}}}}$

Alternatif Pembahasan: show

Seperti soal (1a), soal diatas agar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya adalah $ \sqrt{2}$ yang ditulis secara berulang menjadi $ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan pola yang berulang'

Untuk menyelesaikan soal diatas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}}\ =\ b$

Dengan melihat pemisalan diatas, sehingga sekarang kita hanya mencari nilai $ b$, dengan mempangkatkan ruas kiri dan kanan dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ 2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}\ =\ b^{2}$

Lalu ruas kiri dan kanan sama-sama kita kurang dengan 2, sehingga kita peroleh:
$ \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}}\ =\ b^{2}-2$

Dengan mensubstitusikan nilai $ b$ pada ruas kiri, sehingga bentuknya menjadi:
$ b\ =\ b^{2}-2$

$ b^{2}-b-2=0$

Bentuk diatas sudah menjadi bentuk persamaan kuadrat, untuk menentukan akar persamaan kuadrat salah satunya dengan cara memfaktorkan sehingga kita peroleh:
$ \left ( b-2 \right )\left ( b+1 \right )=0$

$ b-2=0\ atau\ b+1=0$

$ b+1=0$ sehingga $ b=-1$ tidak memenuhi karena akar kuadrat dari bilangan positif hasilnya adalah bilangan positif.

Hasil dari soal diatas yang memenuhi adalah $ b-2=0$ sehingga $ b=2$

1c. Tentukan nilai dari:
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}$

Alternatif Pembahasan: show

Soal diatas agar tidak menyulitkan membacanya coba kita lihat polanya, polanya adalah $ 1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}$ yang ditulis secara berulang menjadi
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}$
dan tanda "$ ...$" maksudnya 'dan seterusnya dengan pola yang berulang'.

Untuk menyelesaikan soal diatas coba kita selesaikan dengan pemisalan, misalkan:
$ \sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}}\ =\ c$

Dengan pemisalan diatas, sehingga kita peroleh:
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{\cdots}}}}}}}}\ =\ c^2$

sekarang kita hanya mencari nilai $ c^2$,

Bentuk soal dapat kita rubah menjadi
$ 1+\frac{1}{c}=c^2$
$ c+1=c^3$
$ c^3-c-1=0$

Sampai pada langkah ini saya kehabisan kata-kata, langsung saya meminta bantuan kepada wolframalpha dan diperoleh Solusi realnya adalah bilangan irasional dengan pendekatan nilai $ c=1,3247...$
Soal kita membutuhka nilai $ c^2=(1,3247...)^2=1,7548...$

Pemisalan soal dapat juga dilakukan berbeda, penyelesaian soal dapat menjadi;
$ 1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{...}}}}}}}}\ =\ c$

Dengan pemisalan diatas, sehingga kita peroleh:
$ 1+\frac{1}{\sqrt{c}}\ =\ c$

$ \frac{1}{\sqrt{c}}\ =\ c-1$

$ c \sqrt{c} - \sqrt{c} =\ 1$ (lalu dikuadratkan ruas kiri dan ruas kanan)

$ c^3 -2c^2+c=\ 1$

$ c^3 -2c^2+c-1=\ 0$

Sampai pada langkah ini saya kembali kehabisan kata-kata, dan kembali saya meminta bantuan kepada wolframalpha dan diperoleh solusi realnya adalah bilangan irasional dengan pendekatan nilai $ c=1,7549...$

Kata teman (yang saya anggap teman) untuk mencari solusi $ c^3-c-1=0$ atau $ c^3 -2c^2+c-1=\ 0$ dapat diselesaikan dengan 'Metode Cardano' dimana metode ini baru saja saya dengar.
Jika pembaca ada ide lain yang mungkin lebih sederhana terhadap penyelesaian soal ini saya sangat berterimakasih.

2. Jika $ a,b$ adalah bilangan asli dengan $ a\leq b $ dan $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}$ adalah bilangan rasional, tentukan pasangan $(a,b)$ (OSN 2005/2006)

Alternatif Pembahasan: show

$ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}$ adalah bilangan rasional sehingga dpat kita tuliskan sebuah persamaan;

$ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{m}{n}$,
dimana $ a, b, m, n$ adalah bilangan asli serta $ m\ dan\ n$ keduanya relatif prima (FPB dari $ m\ dan\ n$ adalah 1).

$ n\sqrt{3}+n\sqrt{a}=m\sqrt{4}+m\sqrt{b}$

$ n\sqrt{3}+n\sqrt{a}=2m+m\sqrt{b}$

$ n\sqrt{3}-2m=m\sqrt{b}-n\sqrt{a}$

$ \left (n\sqrt{3}-2m \right )^{2}=\left (m\sqrt{b}-n\sqrt{a} \right )^2$

$ 3n^2+4m^2-4mn\sqrt{3}=m^2b+n^2a-2mn\sqrt{ab}$

Karena $ a, b, m, n$ semuanya adalah bilangan asli maka $ 4mn\sqrt{3}=2mn\sqrt{ab}$, sehingga $ \sqrt{ab}=\sqrt{12}$
kemungkinan pasangan $ \left (a,b \right )$ adalah $ \left (1,12 \right ), \left (2,6 \right ), \left (3,4 \right )$

Jika $ a=1\ dan\ b=12$ maka $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{1}}{\sqrt{4}+\sqrt{12}}=\frac{1}{2}$ (diperoleh hasil bilangan rasional)

Jika $ a=2\ dan\ b=6$ maka $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{4}+\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ (diperoleh hasil bukan bilangan rasional)

Jika $ a=3\ dan\ b=4$ maka $ \frac{\sqrt{3}+\sqrt{a}}{\sqrt{4}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{4}+\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (diperoleh hasil bukan bilangan rasional)

Pasangan (a,b) adalah (1,12)

3. Nyatakan b dalam a dan c dari persamaan $ \frac{\sqrt[3]{b \sqrt{c}}}{\sqrt{c \sqrt[3]{a}}}=abc$

Alternatif Pembahasan: show

$ \frac{\sqrt[3]{b \sqrt{c}}}{\sqrt{c \sqrt[3]{a}}}=abc$

$ \frac{\sqrt[3]{b c^\frac{1}{2}}}{\sqrt{c a^\frac{1}{3}}}=abc$

$ \frac{b^{\frac{1}{3}} c^\frac{1}{6}}{c^{\frac{1}{2}} a^\frac{1}{6}}=abc$

$ \frac{b^\frac{1}{3}}{b}=\frac{a\cdot a^\frac{1}{6}\cdot c\cdot c^\frac{1}{2}}{c^\frac{1}{6}}$

$ b^\frac{-2}{3}=a^{1+\frac{1}{6}}\cdot c^{\frac{3}{2}-\frac{1}{6}}$

$ b^\frac{-2}{3}=a^\frac{7}{6}\cdot c^\frac{4}{3}$

$ b=a^\frac{-21}{12}\cdot c^\frac{-12}{6}$

$ b=a^\frac{-7}{4}\cdot c^{-2}$

4. Sederhanakan bentuk $ \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$

Alternatif Pembahasan: show

$ \sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$
kita coba sederhanakan dengan menggunakan sifat
$ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)+2\sqrt{ab}}$ atau
$ \sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{\left(a+b\right)-2\sqrt{ab}}$

$ =\sqrt[4]{49-20\sqrt{6}}$

$ =\sqrt{\sqrt{49-2\sqrt{600}}}$

$ =\sqrt{\sqrt{(25+24)-2\sqrt{25\cdot 24}}}$

$ =\sqrt{\sqrt{25}-\sqrt{24}}$

$ =\sqrt{5-2\sqrt{6}}$

$ =\sqrt{(3+2)-2\sqrt{3 \cdot 2}}$

$ =\sqrt{3} -\sqrt{2}$

5. Tentukan nilai $a$ dan $b$ dari:
$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}+...+\frac{1}{\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk mencoba menyelesaikan soal diatas kita coba dengan menyederhanakan beberapa bentuk akar dari soal dengan cara merasionalkan penyebut;

$ \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\times \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=-\sqrt{2}+\sqrt{3}$

$ \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}\times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}=-\sqrt{3}+\sqrt{4}$

$ \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}\times \frac{\sqrt{4}-\sqrt{5}}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}=-\sqrt{4}+\sqrt{5}$
$ \vdots $
$ \frac{1}{\sqrt{999.999}+\sqrt{1.000.000}}=-\sqrt{999.999}+\sqrt{1.000.000}$

$ \frac{1}{\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}}=-\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}$

Dari bentuk yang sudah disederhanakan diatas jika kita jumlahkan seperti soal, maka soal berubah menjadi;
$ -\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}+ \cdots +\sqrt{1.000.000}-\sqrt{1.000.000}+\sqrt{1.000.001}$

$ = -\sqrt{2}+\sqrt{1.000.001}$

$ = \sqrt{1.000.001} -\sqrt{2}$

dengan melihat hasil akhir dan yang diminta soal adalah $ \sqrt{a} -\sqrt{b}$ maka nilai a adalah 1.000.001 dan b adalah 2

6. Hitunglah $ \sqrt{54+14\sqrt{5}}+\sqrt{12-2\sqrt{35}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}}=\cdots$

Alternatif Pembahasan: show

Untuk meyelesaikan soal ini konsep dasar yang kita pakai sama dengan konsep yang dipakai pada soal nomor 4 yaitu $ \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\left ( a+b \right )+2\sqrt{ab}}$ atau $ \sqrt{a}-\sqrt{b}=\sqrt{\left ( a+b \right )-2\sqrt{ab}}$

$ \sqrt{54+14\sqrt{5}}+\sqrt{12-2\sqrt{35}}+\sqrt{32-10\sqrt{7}}$

$ =\sqrt{54+2\sqrt{49\cdot 5}}+\sqrt{12-2\sqrt{7\cdot 5}}+\sqrt{32-2\sqrt{25\cdot 7}}$

$ =\sqrt{49}+\sqrt{5}+\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{25}-\sqrt{7}$

$ =12$

7. Jika $ \left ( 3+4 \right )\left ( 3^2+4^2 \right )\left ( 3^4+4^4 \right )\left ( 3^8+4^8 \right )\left ( 3^{16}+4^{16} \right )\left ( 3^{32}+4^{32} \right )=\left ( 4^x-3^y \right )$, tentukan nilai $x-y=\cdots$

Alternatif Pembahasan: show

$ \left ( 3+4 \right )\left ( 3^2+4^2 \right )\left ( 3^4+4^4 \right )\left ( 3^8+4^8 \right )\left ( 3^{16}+4^{16} \right )\left ( 3^{32}+4^{32} \right )=\left ( 4^x-3^y \right )$
Ruas kiri pada soal diatas dengan tambahan kreativitas dapat kita selesaikan, soal dapat kita rubah bentuk menjadi sebagai berikut;
$\left ( 4+3 \right )\left ( 4^2+3^2 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$

$=\left ( 4-3 \right ) \left ( 4+3 \right )\left ( 4^2+3^2 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$

$=\left ( 4^2-3^2 \right )\left ( 4^2+3^2 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$

$=\left ( 4^4-3^4 \right )\left ( 4^4+3^4 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$

$=\left ( 4^8-3^8 \right )\left ( 4^8+3^8 \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$

$=\left ( 4^{16}-3^{16} \right )\left ( 4^{16}+3^{16} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$

$=\left ( 4^{32}-3^{32} \right )\left ( 4^{32}+3^{32} \right )$

$=\left ( 4^{64}-3^{64} \right )$

$ x=64\ dan\ y=64 \Rightarrow x-y=0$

Saran atau kritik atau masukan yang sifatnya membangun terkait masalah alternatif penyelesaian Uji Kompetensi Bentuk Akar SMA Kurikulum 2013 sangat diharapkan😊😊.

Jika Bermanfaat👌 Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏Share is Caring👀


Via : http://www.foldersoal.com

Bagikan Artikel ini