Sifat Logaritma Ini Sangat Istimewa

Logaritma adalah kebalikan dari bilangan perpangkat, dalam bahasa tetangga disampaikan 'inverse exponential functions is called the logarithmic function'.

Sebelum kepada sifat-sifat logaritma, coba kita singgung sedikit tentang istilah kebalikan dari bilangan berpangkat.
Kita pilih dari bentuk bilangan berpangkat yang sederhana yaitu $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $

Dari bentuk bilangan berpangkat $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $,

• untuk mendapatkan bilangan ${\color{Blue} 2}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Red} 3}$ dan ${\color{Green} 8}$ maka operasi yang kita gunakan adalah akar, penulisan operasinya adalah $ \sqrt[{3}]{{\color{Green} 8}}={\color{Blue} 2}$
• untuk mendapatkan bilangan ${\color{Red} 3}$ dengan menggunakan bilangan ${\color{Blue} 2}$ dan ${\color{Green} 8}$ maka operasi yang kita gunakan adalah logaritma, penulisan operasinya adalah $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$

Jadi kebalikan dari bilangan berpangkat bukan hanya logaritma tetapi juga akar.

Nach kesimpulan yang bisa kita ambil adalah:

• jika $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $ maka $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$ dan
• jika $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$ maka $ {\color{Blue} 2}^{\color{Red} 3}={\color{Green} 8} $.

Dalam bahasa logika matematika dapat dituliskan:
$ {\color{Blue} 2}^{3}={\color{Green} 8} $ jika dan hanya jika $^{{\color{Blue} 2}}\textrm{log}\ {\color{Green} 8}={\color{Red} 3}$

Bentuk umum logaritma dapat kita tuliskan sebagai berikut;
$^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red} c}$ jika dan hanya jika $ {\color{Blue} a}^{\color{Red} c}={\color{Green} b} $.

Bentuk penulisan logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red} c}$ banyak kita temukan pada buku-buku berbahasa Indonesia, sedangkan untuk buku internasional yang dominan berbahasa Inggris penulisan logaritma adalah $ log_{{\color{Blue} a}}{\color{Green} b}={\color{Red} c}$.

Bentuk $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red} c}$ atau $ log_{{\color{Blue} a}}{\color{Green} b}={\color{Red} c}$ dibaca: logaritma dari $ {\color{Green} b}$ dengan bilangan pokok $ {\color{Blue} a}$ adalah ${\color{Red} c}$. Tetapi untuk memudahkan pengucapan sering hanya disebut "a log b = c".

Istilah-istilah pada logaritma $^{{\color{Blue} a}}\textrm{log}\ {\color{Green} b}={\color{Red} c}$

• $ {\color{Blue} a}$ disebut Basis [Bilangan Pokok]. Batasan nilai $ {\color{Blue} a}$ adalah $ {\color{Blue} a} \gt 0$ dan ${\color{Blue} a} \neq 1$. Untuk logaritma basis $10$ bisa tidak dituliskan.
• $ {\color{Green} b}$ disebut Numerus atau bilangan yang dicari logaritmanya. Batasan nilai $ {\color{Green} b}$ adalah $ {\color{Green} b} \gt 0$
• ${\color{Red} c}$ disebut Hasil logaritma

Setelah kita mengetahui bentuk umum atau bentuk dasar dari logaritma diatas, sekarang kita coba mengetahui beberapa sifat logaritma;

1. $^{a}\textrm{log}\ a=1$ karena $ a^{0}=1$
2. $^{a}\textrm{log}\ 1=0$ karena $ a^{1}=a$
3. $^{a}\textrm{log}\ x+^{a}\textrm{log}\ y=^{a}\textrm{log}\ \left (x\cdot y \right )$
4. $^{a}\textrm{log}\ x+^{a}\textrm{log}\ y=^{a}\textrm{log}\ \frac{x}{y} $
5. $^{a}\textrm{log}\ x^{n}=n\ ^{a}\textrm{log}\ x $
6. $^{a}\textrm{log}\ \sqrt[n]{x}=\frac{1}{n}\ ^{a}\textrm{log}\ x $
7. $^{a^{n}}\textrm{log}\ x^{m}=\frac{m}{n}\ ^{a}\textrm{log}\ x $
8. $^{a}\textrm{log}\ x= \frac{^{p}\textrm{log}\ x}{^{p}\textrm{log}\ a} $
9. $^{a}\textrm{log}\ x= \frac{1}{^{x}\textrm{log}\ a} $
10. $ a^{^{a}\textrm{log}\ x}= x $
11. $ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=c^{^{b}\textrm{log}\ a} $

Mungkin dengan mengenal beberapa sifat logaritma diatas sudah bisa mendekatkan kita kepada logaritma. Sama halnya dengan kita mengenal seseorang, semakin kita mengenali sifat-sifatnya maka kita bisa semakin dekat kepada seseorang tersebut.

Pembuktian beberapa sifat logaritma diatas bisa kita temui pada buku matematika SMA atau buku-buku bank soal matematika.

Tetapi untuk sifat nomor 11, sifat logaritma yang saya katakan sangat istimewa $ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=c^{^{b}\textrm{log}\ a} $ karena hampir semua buku matematika SMA tidak menyebutkannya apalagi membuktikannya.

Sekarang coba kita membuktikan kebenaran sifat logaritma tersebut;
$ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=c^{^{b}\textrm{log}\ a} $
Kita misalkan $ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=y$
lalu kedua ruas kita berikan logaritma, bentuknya menjadi,
$ log\ a^{^{b}\textrm{log}\ c}=log\ y$
degan menggunakan sifat (5) kita peroleh bentuknya menjadi,
$ ^{b}\textrm{log}\ c\ log\ a=log\ y$
lalu dengan menggunkan sifat (8) kita peroleh bentuknya menjadi,
$ \frac{log\ c}{log\ b}\ log\ a=log\ y$
perubahan berikutnya,
$ \frac{log\ a}{log\ b}\ log\ c=log\ y$
$ ^{b}\textrm{log}\ a\ log\ c=log\ y$
$ log\ c^{^{b}\textrm{log}\ a}=log\ y$
$ c^{^{b}\textrm{log}\ a}= y$
Bentuk diatas kita kembalikan ke pemisalan awal $ y=a^{^{b}\textrm{log}\ c}$
Bentuk akhir yang kita peroleh mungkin sudah bisa sebagai bukti sederhana,$ c^{^{b}\textrm{log}\ a}=a^{^{b}\textrm{log}\ c}$

Sifat logaritma yang istimewa ini, diperoleh ketika diskusi bersama rekan guru matematika saat akan dilaksanakan Olimpiade Guru Tingkat Provinsi beberapa tahun lalu.


Via : http://www.foldersoal.com

Bagikan Artikel ini